문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 리만 가설 (문단 편집) === 고등학생 이상을 위한 설명 === 본 설명은 [[3Blue1Brown]]의 [[https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw|해당 유튜브 영상]]을 바탕으로 작성됐다. 네이버 블로그의 [[https://blog.naver.com/lyb0684?Redirect=Log&logNo=221366036854|이 설명]]도 참고할 것. 일단 이 '''리만 제타 함수'''가 무엇인지부터 알아보자. 우선 기본형인 [[제타 함수]]는 [math(\zeta\left(s\right) = \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^s})]로, 고등학교 수학에서 많이 봤던 무한급수의 합이다. 즉 [math(\zeta\left(s\right)=\displaystyle\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots)]이라는 말. 이러한 제타 함수에 어떤 값을 넣으면 다른 값이 나온다. [math(\displaystyle \zeta\left(2\right) =\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots = \frac{\pi^2}{6})][* [[레온하르트 오일러]]가 증명한 [[바젤 문제]]이다.]이고, [math(\displaystyle\zeta\left(4\right) =\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\cdots = \frac{\pi^4}{90})] 등등. 리만은 이 함수를 실수뿐만이 아니라 복소수, 즉 [[복소평면]]에 대해서도 확장했다. 즉, [math(\displaystyle\zeta\left(2+i\right) =\frac{1}{1^{2+i}}+\frac{1}{2^{2+i}}+\frac{1}{3^{2+i}}+\cdots)]식으로, 고등수학에서는 허수의 지수를 다루지 않기 때문에 직관적으로는 이해가 힘들 수 있지만, 복소수 지수에 대해 분석하면 다음과 같다. [math(\displaystyle\frac{1}{2^{2+i}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^i)]. 이를 정의역으로 하는 제타 함수를 '리만 제타 함수'라고 한다. [[파일:리만가설01.png|width=500px]] 이 수는 복소평면에서 원점에서의 거리가 [math(\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^2)]이고, 원점에서의 편각이 [math(\displaystyle\ln\left(\frac{1}{2}\right) \mathrm{rad}(1\mathrm{rad} = \frac{180}{\pi}\degree))]이라는 것을 뜻한다. [[지수(수학)|지수]] 참고. [[파일:리만가설02.png|width=500px]] 그러면 복소수인 리만 제타 함수에 대해서도 생각해 볼 수 있게 됐다. 길이를 나타내는 실수부가 특정 수로 수렴한다면, 방향을 복소평면으로 뒤틀어도 이 값은 특정 복소수로 수렴할 것이다. 리만 제타 함수도 함수이므로, 이 함수에 대한 그래프를 그려 보면 아래와 같다. 단, 정의역이 복소수이고 공역도 복소수이므로, 그래프 위에 그래프를 겹쳐 그리는 식으로 시각화하는 방법이 쓰인다. [[파일:리만가설03.png|width=500px]] 노란 가로선과 분홍색 세로선이 리만 제타 함수에 들어가서 변형되면 아래와 같이 변한다. [[파일:리만가설04.png|width=500px]] 우리가 앞서 설명했듯이, 정의역에는 길이가(즉, 실수부가) 1 이상인 값만 넣기로 허용했기 때문에 실수부가 [math(\displaystyle\frac{1}{2})]인 곳을 기점으로 오른쪽에만 그래프가 그려진 것을 볼 수 있다. 리만 제타 함수에서 일단 실수 방향으로 1이 이동했기 때문에, 복소지수에 의해 반대방향으로 이동하더라도 실수부는 특정 수 이하로 내려갈 수 없고, 그 값이 [math(\displaystyle\frac{1}{2})]가 된다. 보면 알겠지만 그래프를 칼로 자른 듯이 정확히 갈라져 있는데, 수학자들은 이 리만 제타 함수를 확장해(그러니까, 우리가 앞서 정의했던 [math(\zeta\left(s\right) = \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^s})]를 버리고, [math(\zeta\left(s\right) = ?)](값이 나오는 무언가)로 정의하는 것) 정의역을 모든 복소수로 변경하고, 실수부 [math(\displaystyle\frac{1}{2})]의 좌측 부분에도 그래프를 정의했다. [[파일:리만가설05.png|width=500px]] 사실 어떻게 정의하든 리만 제타 함수 자체로는 상관없긴 한데(실제로 정의되지 않는 부분이니까), 이 함수에 '''해석적 확장'''을 적용하면 그래프는 하나로 나온다.[* 복소해석학에서 정칙함수의 [[https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%B4%EC%84%9D%EC%A0%81_%EC%97%B0%EC%86%8D|해석적 확장]]은 유일하다.] 해석적 확장에 대해 생소할텐데, 이를 쉽게 예를 들면 다음과 같다. 등비수열의 무한합 [math(1+r+r^2+\cdots)]은 [math(r)]의 절댓값이 1 미만일 경우에만 수렴하고, 절댓값이 1 이상이면 발산한다. 그러나 해당 식을 다른 대수적 표현인 [math(\displaystyle\frac{1}{1-r})]로 나타낸다면, 해당 함수는 절댓값이 1 미만인 부분에서는 [math(1+r+r^2+\cdots)]와 완전히 동일하고, 1이 아닌 다른 부분에서는 [math(1+r+r^2+\cdots)]을 '''완전히 포함'''하면서 새로운 공역이 나오게 된다. 말 그대로 해석적 '''확장'''인 것이다. 이것을 리만 제타 함수 [math(\zeta\left(s\right))]에도 적용하면 아래와 같은 특정한 그래프가 나오게 된다. [[파일:리만가설05.png|width=500px]] 여기서 붉은 부분이 원함수, 파란 부분이 해석적 확장을 적용한 새로운 리만 제타 함수이다. 이렇게 확장한 그래프를 잘 보면 어떤 특정한 값들은 함수값이 0이 되도록 하는 것을 볼 수 있다. 수학자들은 계산을 통해 -2, -4, -6 등의 값이 함수값을 0이 되게 만든다는 것을 알아냈고(이를 '''자명한 근'''이라고 부른다.[* 왜 자명한 근이라고 부르는 지는 [[베르누이 수열#s-9|문서]] 참고.]), 나머지는 시각적으로 특정 임계값의 값들만이 함수값을 0으로 만들 수 있게 한다는 것을 밝혀내었다. [[파일:리만가설07.png|width=500px]] 리만은 (자명한 근을 제외하면) 이 범위 내에서 오직 실수부가 [math(\displaystyle\frac{1}{2})]인 곳에서만 함수값을 0으로 만드는 점이 존재한다는 가설을 세웠다. '''이것이 리만 가설이다.'''저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기